Δείτε παρακάτω τα θέματα των Μαθηματικών και των Αρχαίων Ελληνικών:
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας:
ΘΕΜΑ Α
Α 1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \ και c σταθερός πραγματικός αριθμός , να αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι () () () c f x c f x , για κάθε x ′ ′ = ∈ R Μονάδες 7
Α 2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ; Μονάδες 4
Α 3. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή λέγεται διακριτή και πότε συνεχής ; Μονάδες 4
Α 4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν , γράφοντας στο τετράδιό σας , δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση , τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή , ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη .
α ) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ( ) () 00 fx 0, για x α , β ′ =∈ , και η παράγωγός της f ′ διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν του 0 x , τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο ( ) α , β και δεν παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα αυτό . ( μονάδες 2)
β ) Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α , Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : ( ) ( ) ( ) PA B PB PA B −= − ∩ ( μονάδες 2)
γ ) Σε μια κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα ( ) xs, xs − + , όπου x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων . ( μονάδες 2)
δ ) Αν i x είναι τιμή μιας ποσοτικής μεταβλητής X , τότε η αθροιστική συχνότητα i N εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες της τιμής i x ( μονάδες 2) ε ) Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς , τα εμβαδά ή , ισοδύναμα , τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες i v ή τις σχετικές συχνότητες i f των τιμών i x της μεταβλητής . ( μονάδες 2) Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ιστόγραμμα συχνοτήτων , το οποίο παριστάνει τις πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους .
Β 1. Να βρείτε το πλήθος των πωλητών της εταιρείας . Μονάδες 5
Β 2. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων κατάλληλα συμπληρωμένο , δικαιολογώντας τη στήλη με τις σχετικές συχνότητες i f, i 1, 2, 3, 4 = 46810 6 8 2 πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ αριθμός πωλητών 10 12 14 ΑΡΧΗ 3 ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ ́ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΛΟΣ 3 ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ Μονάδες 8
Β 3. α ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των πωλήσεων του έτους . ( μονάδες 6) β ) Να βρείτε το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον 4,5 χιλιάδων ευρώ ( θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες ). ( μονάδες 6) Μονάδες 12
ΘΕΜΑ Γ
Ένα δοχείο περιέχει κόκκινες ( Κ ), άσπρες ( Α ) και πράσινες ( Π ) μπάλες . Επιλέγουμε τυχαία μία μπάλα . Η πιθανότητα να προκύψει κόκκινη μπάλα είναι 1 P( Κ )x = , ενώ η πιθανότητα να προκύψει άσπρη μπάλα είναι 2 P( Α ⥸ = Ⱐ όπου 12 x, x είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης 32 12 7 f(x) 4x x x 1, x με xx 2 =− +− ∈ < \
Γ 1. Να βρείτε τις πιθανότητες P( Κ ), P(A) και P( Π ) , όπου P( Π ) η πιθανότητα να προκύψει πράσινη μπάλα . Μονάδες 10
Γ 2. Αν 1 P( Κ ) 4 = και 1 P(A) 3 = , να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων : Γ : « η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι κόκκινη ή άσπρη » Δ : « η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι ούτε κόκκινη ούτε άσπρη » Ε : « η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι άσπρη ή να μην είναι πράσινη ». Μονάδες 9 K λάσεις Κεντρικές τιμές i x Συχνότητα i ν Σχετική συχνότητα i f [ · , · ) [ · , · ) [ · , · ) [ · , · ) Σύνολο
Γ 3. Αν οι άσπρες μπάλες είναι κατά τέσσερις (4) λιγότερες από τις πράσινες μπάλες , να βρείτε πόσες μπάλες έχει το δοχείο . Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση ορθογώνιο και ανοικτό από πάνω . Το ύψος του κουτιού είναι 5 dm . Η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίμετρο 20 dm και μία πλευρά της είναι x dm με 0x10 < < Δ 1. Να αποδείξετε ότι η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση του x είναι ( ) 2 E(x) x 10x 100, x 0, 10 =− + + ∈ και να βρείτε για ποια τιμή του x το κουτί έχει μέγιστη επιφάνεια . Μονάδες 8
Στη συνέχεια , θεωρούμε τα σημεία ( ) iii A x, y , όπου ( ) ii y E x , i 1, 2,...,15 == με 1 2 14 15 5 x x ... x x 9 =<<< < = Δ 2. Αν το δείγμα των τετμημένων i x , i 1, 2,...,15 = των παραπάνω σημείων () iii A x,y • δεν είναι ομοιογενές • έχει μέση τιμή x8 = και • τυπική απόκλιση s τέτοια , ώστε 2 2s - 5s 2 0 + = τότε :
α ) να αποδείξετε ότι s2 = ( μονάδες 4) x dm 5 dm
β ) να βρείτε τη μέση τιμή των 2 i x , με i 1, 2,...,15 = † Δίνεται ότι : 2 ν i ν i 1 2 2 i i 1 t 1 st νν = = ⎧⎫ ⎛⎞ ⎪⎪ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎠ =− ⎨⎬ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎭ ∑ ∑ ( μονάδες 4) Μονάδες 8 Δ 3. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα παραπάνω σημεία () iii A x , y , i 1, 2,...,15 = Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : () {} iii i i ΒΑ x , y , i 1, 2,...,15 τέτοια , ώστε y 4x 9R 1 == >−++ , όπου R είναι το εύρος των ( ) ii y E x , i 1, 2,...,15 == Μονάδες 9
ΟΔΗΓΙΕΣ ( για τους εξεταζομένους ) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα . Στο εσώφυλλο πάνω - πάνω να συμπληρώσετε τα Ατομικά στοιχεία μαθητή . Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω - πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας . 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν . Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα . 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει . Μολύβι επιτρέπεται , μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση , και μόνο για πίνακες , διαγράμματα κλπ . 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 5. Διάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων . 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 10.30 π . μ .
